A impossibilidade está fixada num teorema de 1827. O que distingue as projeções num mapa é aquilo que cada uma decide sacrificar.
Entre 1821 e 1825, Carl Friedrich Gauss passou os verões em cima das colinas do reino de Hanôver, a medir os ângulos de uma rede de triângulos com um instrumento que concebera para o efeito. O heliótropo refletia a luz do sol num espelho e criava um alvo visível a dezenas de quilómetros. Onde não havia elevação, a equipa abatia árvores e levantava torres de sinal. O encargo era administrativo: Jorge IV, rei do Reino Unido e de Hanôver, tinha mandado triangular o território e ligá-lo à rede geodésica dinamarquesa.
Do trabalho de campo saiu outra coisa. A 8 de outubro de 1827, Gauss apresentou à Real Sociedade das Ciências de Göttingen a memória Disquisitiones generales circa superficies curvas.
A impossibilidade de desenhar a Terra com fidelidade tem, desde essa data, o estatuto de teorema. Antecede a boa ou má vontade de quem faz mapas.
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O que Carl Friedrich Gauss provou em 1827
Gauss chamou-lhe theorema egregium, teorema notável. A curvatura de uma superfície pode ser medida por quem está dentro dela, sem sair para a observar de fora, e mantém-se inalterada enquanto a superfície se dobrar sem esticar.
Uma folha de papel enrola-se em cilindro sem resistência. Uma esfera tem curvatura positiva e o plano tem curvatura nula, e nenhuma torção as faz coincidir. Daí o corolário que interessa aos cartógrafos: a casca de uma laranja não assenta na mesa sem rasgar, e a superfície da Terra não se desdobra sobre uma folha sem que alguma distância se distorça.
Ângulos ou áreas: o que cada projeção sacrifica
O sacrifício é obrigatório. A escolha do que sacrificar fica livre. Uma projeção conforme preserva os ângulos em cada ponto e desiste das áreas, como faz a carta de 1569 de Gerardus Mercator, e é essa desistência que incha a Gronelândia. Uma projeção equivalente preserva as áreas e desiste das formas. Outras repartem o erro por todas as grandezas sem anular nenhuma. Ângulos e áreas ao mesmo tempo, nunca, e a exclusão vem do teorema de 1827 e não do estado da técnica. Perguntar qual é o mapa mais fiel não tem resposta: a fidelidade mede-se sempre em relação a uma grandeza, e cada carta escolhe a sua.
Em 1881, o cartógrafo francês Nicolas Auguste Tissot reuniu num volume publicado em Paris o método que vinha a desenvolver desde 1859 para tornar a distorção visível. Em cada ponto do mapa desenha-se aquilo que na esfera seria um círculo minúsculo. Onde a projeção preserva ângulos sai sempre um círculo, cada vez maior à medida que sobe para os polos. Onde preserva áreas sai uma elipse, achatada numa direção. John Snyder, que foi investigador do serviço geológico dos Estados Unidos, catalogou em 1993, em Flattening the Earth, perto de duas centenas de projeções.
Porque Portugal precisa de quatro projeções
A escala decide o resto. Num mapa-múndi, a distorção vê-se a olho nu. Num mapa de um concelho, cabe dentro da espessura do traço. O sistema oficial de Portugal continental, fixado em 2006, chama-se PT-TM06/ETRS89 e assenta numa Transversa de Mercator: a mesma família de projeção que engana o planisfério é a que serve o cadastro, a engenharia e os levantamentos topográficos.
O território, porém, não cabe num só desenho. Os Açores e a Madeira usam outro sistema, o PTRA08-UTM/ITRF93, com o grupo ocidental dos Açores no fuso 25, o central e o oriental no 26, e a Madeira no 28. Portugal precisa de quatro planos de projeção distintos para se representar a si próprio na cartografia oficial.
A campanha que a União Africana endossou em 2025 para retirar Mercator das escolas não contesta nada disto. Escolhe outro ponto de aplicação do erro.
A Equal Earth, a projeção que a campanha propõe, respeita as áreas e paga esse respeito com as formas nos bordos do mapa. A troca é medível: para cada sistema português, a Direção-Geral do Território publica o meridiano central, o fuso e o coeficiente de redução de escala que fixam de quanto é o erro e onde cai.
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